Due versioni del paradosso di Russell

Il paradosso del barbiere è un’antinomia formulata dal filosofo e logico britannico Bertrand Russell nel 1918. Essa costituisce approssimativamente una riformulazione intuitiva, o figurata, del famoso paradosso di Russell. L’antinomia può essere enunciata così: « In un villaggio vi è un solo barbiere, un uomo ben sbarbato, che rade tutti e solo gli uomini del villaggio che non si radono da soli. Il barbiere rade sé stesso? »

Se, come apparirebbe plausibile, il barbiere si radesse da solo, verrebbe contraddetta la premessa secondo cui il barbiere rade solo gli uomini che non si radono da soli. Se invece il barbiere non si radesse autonomamente, allora dovrebbe essere rasato dal barbiere, che però è lui stesso: in entrambi i casi si cade in una contraddizione.

La somiglianza con il paradosso di Russell sta nel fatto che il villaggio del barbiere si potrebbe considerare diviso in due parti:

  • Quella degli uomini che si radono da soli (che è assimilabile alla categoria degli insiemi che appartengono a sé stessi nella versione originale dell’antinomia).
  • Quella degli uomini che, non radendosi da soli, vengono rasati dal barbiere (nella versione originale, gli insiemi che non appartengono a sé stessi).

Il problema è in quale categoria vada incluso il barbiere: infatti, sia che venisse incluso nella prima, sia che venisse incluso nella seconda, la situazione sarebbe contraddittoria. Il barbiere è un insieme che appartiene a sé stesso se e solo se non appartiene a sé stesso.

La versione WEB. Come si sa, le varie pagine Internet accessibili in rete contengono diverse connessioni (links) ad altre pagine; tali connessioni sono di norma segnalate da una o più parole sottolineate. Ora, vi sono pagine che contengono un link a se stesse (tipicamente le cosiddette home pages), altre (la maggioranza) che non contengono un link a se stesse. Il numero totale di pagine (nel mondo, o possiamo limitarci ad ambiti più ristretti – non cambia nulla) è comunque finito. Supponiamo di voler allestire una pagina Internet che contenga un link a tutte e sole le pagine che non hanno link a se stesse. Se ci pensate un attimo, vedete che una tale pagina non si può fare, e che tale paradosso è molto simile al paradosso di Russell.